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이 논문(Optimal Stock Selling Based on the Global Maximum)은 주식 판매의 최적 타이밍에 관한 연구로, 주어진 기간 동안 판매 가격과 글로벌 최대 가격 사이의 제곱 오차 기대값을 최소화하는 방법을 제안한다.

이 논문에서 글로벌 최대값(Global Maximum)은 주어진 기간 [0, T] 동안 주식 가격이 도달하는 최고점을 의미한다. 구체적으로, MT = max(0≤t≤T) St로 정의된다. 여기서 St는 시간 t에서의 주식 가격이다.

투자자의 이상적인 목표는 이 글로벌 최대값에서 정확히 주식을 매도해서 최대 수익을 얻는 것이다. 하지만 현실적으로는 주식을 팔기로 결정하는 시점에서 미래의 가격 움직임을 알 수 없기 때문에 글로벌 최대값을 미리 알 수 없다.

그래서 이 논문에서는 매도 가격(Sν)과 글로벌 최대값(MT) 사이의 제곱 오차 E[(Sν - MT)²]를 최소화하는 최적 매도 시간(ν)을 찾는 방법을 연구했다. 즉, 실제로 달성 불가능한 "최대값에 매도하기"라는 목표에 가능한 한 가깝게 접근하는 전략을 개발하는 것이 이 연구의 핵심이다.

주요 내용

1. 문제 정의:

투자자가 시간 0에 주식을 매수했고 기간 [0, T] 내에 매도해야 함

글로벌 최대 가격에 최대한 가깝게 매도하는 것이 목표

주식 가격은 기하 브라운 운동(GBM)을 따른다고 가정

1. 수학적 접근:

문제를 최적 정지 시간 문제로 공식화

변동 부등식 문제(Variational Inequality Problem)로 전환

1. 주요 결과:

• 과잉 수익률(μ)의 부호에 따라 최적 매도 전략이 크게 달라짐

• μ > 0인 경우:

- 자유 경계는 두 개의 분기가 있음

- 판매 영역은 특정 임계값보다 만기까지의 시간이 짧을 때만 존재

- 만기까지 충분한 시간이 있으면 판매하지 않는 것이 최적

• μ ≤ 0인 경우:

-자유 경계는 하나의 분기만 있음

-판매는 만기에 가까워질 때 최적

1. 분석 방법:

• 자유 경계의 존재성, 유계성, 매끄러움을 증명

• μ > 0와 μ ≤ 0 경우를 분리하여 다른 접근법 사용

• 수치적 시뮬레이션으로 이론적 결과 확인

1. 결론:

• 최적 판매 전략은 과잉 수익률의 부호, 주가 대비 최대 가격의 비율, 만기까지의 시간에 의해 결정됨

• μ > 0일 때는 만기에 충분히 가깝고 최대가 대비 주가 비율이 특정 시간별 수준 사이에 있을 때만 판매가 최적

• μ ≤ 0일 때는 만기에 가까워지는 경우 판매가 최적

이 연구는 PDE 접근법을 사용하여 글로벌 최대값 대비 최적 판매 시점 문제를 해결했으며, 특히 자유 경계의 특성에 대한 철저한 분석을 제공한다.